Жаловаться надо в Нацкомфинуслуг http://www.dfp.gov.ua/. Именно они отвечают за контроль над рынком страхования.

Если дело касается "автогражданки" также можно пожаловаться в МТСБУ http://mtibu.kiev.ua/. Это - объединение страховщиков, которые продают полисы обязательного страхования гражданско-правовой ответственности владельцев наземных транспортных средств, оно же ОСАГО, оно же автоцивилка и пр.

Альтернативные способы жалоб.

Президент Украины http://www.president.gov.ua/. Он назначает главу Нацкомфинуслуг и может поинтересоваться "что там происходит?"

Генеральная прокуратура Украины http://www.gp.gov.ua/ и органы МВД http://mvs.gov.ua. Если страховая компания не платит - у нее кончились деньги. Чаще всего они кончаются, когда их из компании "вынимают", а это - чистейшая уголовщина. Сильно не накажут, но кровушки попьют.

Ну и самый действенный способ - подать в суд и выбить деньги.

Вот, собственно, и весь арсенал. Шаблоны жалоб и судебных исков вы можете найти на нашем сайте в своем кабинете. Это здесь http://www.strahnadzor.ua/cabinet