Тут всё зависит от условий вашего договора. Если в договоре присутствует опция "любой водитель на законных основаниях управляющий транспортным средством", то причиной для отказа управление по доверенности быть не должно.

Если же такой опции нет, то дело плохо - скорее всего будет отказ.

Также разочарование может вас ждать, если при условии "любой водитель" есть дополнительные ограничения по возрасту или стажу вождения, под которые ваш водитель попадает. Обычно такие ограничения печатаются малюсенькими буковками в самом неприметном месте договора.

Общая рекомендация: не экономьте на опции "любой водитель". Случаев отказов  по причине "я плохо себя чувствовал и попросил друга подвезти" тысячи. Не экономьте на спичках.