Страховая компания оплатит вам затраты на ремонт вашей квартиры. Если по договору предусмотрена франшиза, то ее размер (500-1000 грн.) будет олачивать ваш сосед, который устроил "наводнение".

Чтобы страховая компания быстро выплатила возмещение, начинайте немедля готовить документы. Зафиксируйте событие в ЖЭКе (представители ЖЭКа обязаны составить акт) и вызовите эксперта из страховой компании либо наймите его сами (это гривен в 500 обойдется). Пока эксперт не зафиксировал повреждения - ремонт не начинайте. 

По закону страховая компания должна "протягом двох робочих днів, як тільки стане відомо про
настання страхового випадку, вжити заходів щодо оформлення всіх
необхідних документів для своєчасного здійснення страхової виплати
або страхового відшкодування страхувальнику".

Если сосед упирается и страховая компания не торопится с выплатой ущерба - смело подавайте в суд. Там и моральный ущерб можно в иск включить.